2026年中国北方数学奥林匹克试题解答第1题题题题目目目设 xk（k = 1, 2, 3, 4）是方程x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = 0的 4 个复根，试求4∑︂k=1xk − 1xk + 2的值。解解解答答答令P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5.由于P(−2) = 16 − 16 + 12 − 8 + 5 = 9 ̸= 0,所以 −2 不是方程的根，各式中的分母 xk + 2 均不为零。由P(x) =4∏︂k=1(x − xk),两边求导，并除以 P(x)，得P ′(x)P(x) =4∑︂k=11x − xk.取 x = −2，则4∑︂k=11xk + 2 = P ′(−2)P(−2) .又P ′(x) = 4x3 + 6x2 + 6x + 4,P ′(−2) = −32 + 24 − 12 + 4 = −16,12026年年年中中中国国国北北北方方方数数数学学学奥奥奥林林林匹匹匹克克克试试试题...
