2026年西部数学邀请赛第一天试题解答题题题目目目第1题 已知正实数 a1, . . . , an, b1, . . . , bn 满足1ai− 1bi≤ 1(i = 1, 2, . . . , n),求证：n∑︂i=1aibi≤ 1.解解解答答答记A =n∑︂i=1ai,B =n∑︂i=1bi.若 A ≥ 1，由 B > 0 立即有1A − 1B < 1A ≤ 1.以下设 0 < A < 1。此时对任意 i，均有 0 < ai ≤ A < 1。由已知条件，1bi≥ 1ai− 1 = 1 − aiai> 0,故bi ≤ai1 − ai≤ai1 − A,其中第二个不等号来自 ai ≤ A。对 i 求和可得B =n∑︂i=1bi ≤11 − An∑︂i=1ai =A1 − A.因此1B ≥ 1 − AA= 1A − 1,从而1nn∑︂i=1aibi= 1A − 1B ≤ 1.证毕。12026年年年西西西部部部数数数学学学邀邀邀请请请赛赛赛第...
