2026年中国女子数学奥林匹克第一天、第二天试题+解答.pdf

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2026年中国女子数学奥林匹克第一天试题解答题题题目目目第1题称正整数 n 是好的，如果其质因子均不超过 √n。证明：存在 2026 个互质的好数，使得其中任两个之差也为好数。解解解答答答取 2026 个互不相同且均不小于 11 的素数11 ≤ p1 < p2 < · · · < p2026,并令ai = p6i(1 ≤ i ≤ 2026).由于 ai 的唯一质因子为 pi，且pi ≤ p3i = √ai,故每个 ai 都是好数；又因 pi 互不相同，故这些 ai 两两互质。任取 j > i，记 x = pj, y = pi，则 x > y ≥ 11，且aj − ai = x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2).(1)式 (1) 右端的四个正因子均小于 3x2。事实上，x − y < x,x + y < 2x,x2 − xy + y2...

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